Conway gia nhập học viện trẻ của câu lạc bộ Bristol City năm 7 tuổi. Anh bắt đầu sự nghiệp chuyên nghiệp của mình dưới dạng cho mượn tại Yate Town mùa giải 2019–20, trước khi gia nhập Bath City theo dạng cho mượn vào tháng 10 năm 2020.[3] Anh ra mắt chuyên nghiệp cho Bristol City trong trận thua 3–1 trước Coventry City tại EFL Championship vào ngày 5 tháng 4 năm 2021.[4] Anh ghi bàn thắng chuyên nghiệp đầu tiên trong trận thua 4-1 trước Millwall vào ngày 1 tháng 5 năm 2021.[5]

Một khởi đầu ấn tượng ở mùa giải 2022-23 chứng kiến ​​Conway được đôn lên đội một và giành giải Cầu thủ trẻ xuất sắc nhất tháng của EFL tháng 8 năm 2022.[6]